Calculateur de Factorielle

Calculateur de factorielle - Calculer n! avec étapes

🔢 Calculez la factorielle (n!) pour n’importe quel nombre de 0 à 170. Consultez le détail étape par étape, les permutations, les combinaisons et des applications réelles.

Qu’est-ce qu’une factorielle ?

La factorielle d’un entier non négatif n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n. Elle représente le nombre de façons d’arranger n objets distincts.

Formule de la factorielle

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• 0! = 1 (par définition)
• 1! = 1
• n! = n × (n-1)! (définition récursive)

Exemples de factorielles

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 628 800
• 0! = 1 (cas particulier)
• 20! = 2 432 902 008 176 640 000

Pourquoi 0! = 1 ?

Il existe exactement une façon d’arranger zéro objet : l’arrangement vide. Cette définition garantit que les formules mathématiques (notamment en combinatoire) fonctionnent correctement. Elle est aussi cohérente avec la formule récursive : n! = n × (n-1)!, donc 1! = 1 × 0! implique que 0! vaut 1.

Permutations

P(n,r) = n!/(n-r)!

Nombre de façons d’arranger r objets parmi n objets distincts, lorsque l’ordre compte.

• Exemple : P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60
• Cas d’usage : Places sur un podium (1er, 2e, 3e)

Combinaisons

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)

Nombre de façons de choisir r objets parmi n objets distincts, lorsque l’ordre ne compte pas.

• Exemple : C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10
• Cas d’usage : Loterie, sélection de comité

Zéros finaux dans n!

Les zéros finaux sont créés par des facteurs 10 = 2 × 5. Comme il y a toujours plus de facteurs de 2 que de 5, on compte seulement les facteurs de 5 :

Zéros = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

• 10! a 2 zéros finaux
• 25! a 6 zéros finaux
• 100! a 24 zéros finaux

Applications réelles

• Cryptographie : nombre de clés possibles
• Planification : façons d’organiser rendez-vous, tâches, événements
• Génétique : séquences ADN/protéines possibles
• Probabilités : calcul des chances dans les jeux et loteries
• Informatique : analyse de la complexité des algorithmes
• Industrie : agencement des lignes de production
• Logistique : problèmes d’optimisation de маршруtes

Valeurs célèbres

• 52! ≈ 8.07 × 10⁶⁷ (mélanges d’un jeu de cartes)
• 70! ≈ 1.2 × 10¹⁰⁰ (dépasse les atomes de l’univers ≈ 10⁸⁰)
• 100! ≈ 9.3 × 10¹⁵⁷ (158 chiffres !)
• 170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶ (maximum JavaScript)

Approximation de Stirling

Pour de grands n, calculer exactement la factorielle est peu pratique. L’approximation de Stirling donne :

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

Cette approximation devient plus précise quand n augmente. Pour n = 10, l’erreur est < 1%.

Comparaison de croissance

La factorielle croît beaucoup plus vite que l’exponentielle ou les polynômes :

• Polynôme : n² = 100 pour n=10
• Exponentielle : 2ⁿ = 1 024 pour n=10
• Factorielle : n! = 3 628 800 pour n=10

Double factorielle

La double factorielle (n!!) multiplie un nombre sur deux :

• n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 ou 1
• 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
• 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384

Subfactorielle (dérangements)

La subfactorielle !n compte les permutations où aucun élément ne reste à sa position d’origine :

!n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)ⁿ/n!)

Exemple : !3 = 2 (arrangements de ABC sans point fixe : BCA, CAB)

Implémentation en programmation

Approche itérative :

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}
            

Approche récursive :

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}
            

💡 Astuce : Pour les permutations/combinaisons, simplifiez les facteurs communs avant de calculer pour éviter les dépassements. Pour C(100,2) = 100!/(2!×98!), calculez (100×99)/2 = 4 950 au lieu de calculer séparément les énormes factorielles !