Calculateur de vecteur de déplacement

Calculateur de vecteur de déplacement - Calculer la distance et la direction

📐 Calculez le vecteur de déplacement, sa norme, l’angle de direction et ses composantes. Visualisez le mouvement en 2D et 3D avec des explications étape par étape.

Qu’est-ce que le déplacement ?

Le déplacement est une grandeur vectorielle qui représente le changement de position d’un objet. C’est la distance en ligne droite entre la position initiale et la position finale, indépendamment du chemin réellement parcouru.

Formule du déplacement

Déplacement 2D :

Δr = ⟨Δx, Δy⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀⟩

Déplacement 3D :

Δr = ⟨Δx, Δy, Δz⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀⟩

Norme (distance)

2D :

|Δr| = √(Δx² + Δy²)

3D :

|Δr| = √(Δx² + Δy² + Δz²)

Angle de direction

Angle 2D depuis l’axe X :

θ = arctan(Δy/Δx)

• Mesuré dans le sens antihoraire depuis l’axe X positif
• Plage : -180° à +180° (ou 0° à 360°)
• Utilisez atan2(Δy, Δx) pour obtenir le bon quadrant

Vecteur unitaire

Le vecteur unitaire a une norme de 1 et pointe dans la direction du déplacement :

û = Δr / |Δr|

Exemples de calcul

Exemple 1 : Mouvement horizontal

• Initial : (0, 0), Final : (10, 0)
• Déplacement : ⟨10, 0⟩ m
• Norme : 10 m
• Direction : 0° (Est)

Exemple 2 : Mouvement diagonal

• Initial : (2, 1), Final : (7, 5)
• Déplacement : ⟨5, 4⟩ m
• Norme : √(5² + 4²) = 6.40 m
• Direction : arctan(4/5) = 38.66°

Exemple 3 : Mouvement 3D

• Initial : (1, 2, 3), Final : (4, 6, 8)
• Déplacement : ⟨3, 4, 5⟩ m
• Norme : √(3² + 4² + 5²) = 7.07 m

Déplacement vs distance

Différences clés :

• Déplacement : vecteur (norme + direction), en ligne droite, peut être nul
• Distance : scalaire (norme seule), trajet total, toujours positive

Exemple : si vous marchez 5 m vers l’Est, puis 5 m vers l’Ouest :

• Distance parcourue : 10 m
• Déplacement : 0 m (retour au départ)

Applications réelles

• Navigation : le GPS calcule le déplacement vers la destination
• Physique : vitesse = déplacement / temps
• Ingénierie : analyse des déformations structurelles
• Robotique : planification de trajectoire et suivi de position
• Sport : analyse des déplacements des joueurs
• Aviation : routes de vol et navigation

Directions de la boussole

• N (Nord) : 90° (axe Y positif)
• E (Est) : 0° (axe X positif)
• S (Sud) : -90° ou 270° (axe Y négatif)
• W (Ouest) : ±180° (axe X négatif)
• NE : 45°, SE : -45°, SW : -135°, NW : 135°

Addition de vecteurs

Plusieurs déplacements peuvent être additionnés :

Δr_total = Δr₁ + Δr₂ + Δr₃ + ...

Exemple : marcher 3 m vers l’Est, puis 4 m vers le Nord

• Δr₁ = ⟨3, 0⟩, Δr₂ = ⟨0, 4⟩
• Total : ⟨3, 4⟩, Norme : 5 m, Direction : 53.13° (NE)

Propriétés importantes

• La norme du déplacement ≤ la distance parcourue (égalité uniquement pour un trajet rectiligne)
• Le déplacement peut être négatif (les composantes peuvent être négatives)
• Déplacement nul ≠ absence de mouvement (on peut revenir au départ)
• Le déplacement est indépendant du chemin (seuls le départ et l’arrivée comptent)

Erreurs fréquentes

• Confondre déplacement et distance — ce n’est pas la même chose !
• Mauvais quadrant pour l’angle — utilisez atan2 pour l’angle correct
• Oublier la direction — le déplacement est un vecteur
• Ajouter un scalaire à un vecteur — on ne peut pas additionner distance et déplacement

💡 Astuce : en résolution de problèmes de physique, dessinez toujours un schéma avec les positions initiale et finale. Pour les problèmes en 3D, utilisez la règle de la main droite : pouce (X), index (Y), majeur (Z). Rappelez-vous que le déplacement dépend uniquement des points de départ et d’arrivée, pas du chemin — c’est pourquoi une personne qui marche en cercle peut avoir un déplacement nul malgré une grande distance parcourue !